例谈巧构图形解代数问题

的 图象 （ 如图所示） ， 其中 ｌ 　为 船 Ａ 相 应 的 函 数　 图象 ， ｍ 　为 比船 Ａ 早 ５ 天 从 纽 约 出 发 的船 相 应 的 函 数　 图象． １ 。 与ｍ 　交 于 Ｐ 　 （ ｔ 。 ， ｓ 　 ） ， 表 示 船 Ａ 与 从 纽 约 同 时　 出 发 的船 在 ｔ 。 天后 相遇． 图中与 ｚ 　相 交 的 共 有 １ ５条　 线， 故 该 船将 遇 到 同 一 公 司 的 １ ５ 艘 船　

从 上 图可 以求 出 ， 从 甲 城 开 出 的 一 辆 车 在 途 中 最　 多 能 看 到 ７辆 迎 面 驶 来 的 从 乙城 发 出 的 同 一 线 路 的 车　 （ 有 ７个 相 遇 点 ） ， 最 少 也 能 在 途 中看 到 ４辆 （ 有 ４个 相　

遇点） ． 　 评注 通过构 造一 次 函数 图象 ， 把 一 个 数 量 关 系　

极其复杂的代数问题直观 、 形 象 地 呈 现 出来 ． 通 过 观 察　 就 可 以 对 问 题 作 出 回答 ． 由此说 明， 构 造 图 形 在 解 决 某　

些代数问题时具有不可替代的作用． 　 １ ． ２ 构 造 反 比例 函数 图 象 ， 巧 证 不 等 式　

１ 　 １ 　

例２ 　 已知： 　 ∈Ｒ 　， 证 明 不 等 式　 ＋ —　 ＞　

９ 　

：． 　

＋ １ ’ 　

图 １ 　

解析

由　 联 想 到 反 比　

， ｆ 　

从 图 中可 以看 出 ， 有 １ 艘 是在 出发时 遇到 （ 从 纽 约　 港到达勒阿佛尔 ） ， １艘 是 到 达 纽 约 时 遇 到 （ 刚 好 从 纽 约　

１ 　

例函数 Ｙ 一÷ ， 如图 ３ ， 画出 　

１ 　

开出） ， 剩下 １ ３艘 则 在 海 上 相 遇 ； 另外 ， 还 可 从 图 中 看　 到， 轮 船 相 遇 的时 间是 每天 中 午 和 子 夜 ． 　

函数 　一÷ （ ｚ ＞０ ） 的图象． 　

在　 轴 上 取 两 点 Ａ （ 　， 　 Ｏ ） 、 Ｂ（ ｎ ＋２ ， ０ ） ， 过 Ａ、 Ｂ 分 别　

这 是 一 道 典 型 的构 造 函数 图 象 解 决 代 数 问 题 的 实　 例， 类 似 的代 数 问题 很 多 ， 我 们 可 以 通 过 构 造 图形 — —　 使代数问题几何化 ， 用 几 何 方 法 来 解 决 代 数 问题 ， 往 往　 会 收 到 事 半 功 倍 的效 果 ． 　

图３ 　

作　 轴 的垂 线 交 图 象 于 Ａ， 、 Ｂ ， ， 则 Ａ Ａ， 一 　 ， Ｂ Ｂ ， 一　 十　 连 接 Ａ Ｂ得 梯形 Ａ ＢＢ 　 Ａ 　 ． 再 取 线段 Ａ Ｂ 的 中 点　

．

１ 巧构 函数 图象　

１ ． １ 　 构 造 一 次 函数 图 象 ， 迁移 “ 柳卡趣题 ” 　 例 １ 长 途汽车在 甲 、 乙 两 座 城 市 之 间往 返 行 驶 ， 　 每 辆 汽 车 需 要 经 过 ４小 时 到 达 对 方 城 市 ． 从 上 午 ６时　

Ｃ（ 　＋１ ， Ｏ ） ， 作 ｚ轴 的 垂 线 段 Ｃ Ｃ 　 ， 交Ａ 　 Ｂ 　 于点Ｃ 　 ， 交曲 　 线 于点 Ｄ， 则Ｃ Ｃ 　 是 梯 形 ＡＢ Ｂ， Ａ 　 的 中位 线 ． 所以Ｃ Ｃ 　 一