从“柳卡趣题”说开去——例谈巧构图形解代数问题
２ ０ １ １ 年第 ６ 期
数 学 教 育 研 究
? ５ ３ ?
从“ 柳 卡趣 题 ” 说 开 去
一
例 谈 巧 构 图形 解 代 数 问题
张 良江 （ 浙江省宁波市北仑区 顾国和中学 ３ １ ５ ８ ０ ０ ）
“ 数形结 合”
是一 种 重要 的数学 思想 方法 ． 初 中 数 学 中， 存 在 着 大 量 图形 问题 难 以 用 几 何 方 法 解 决 ， 而 用 代数方法却能轻松化解 ； 同样 ， 又 不 乏 用 图形 等 几 何 方 法 解 决 代 数 问题 的 经 典 范 例 ． 本 文 试 图 从 一 道 数 学 趣 题说起 ， 谈 谈 如 何 巧构 图形 解 决 代 数 问题 ， 希 冀 窥 一 斑
而见全豹．
开始 ， 每 隔 １小 时 ， 从 甲、 乙 两 座 城 市 同 时 发 出 一 辆 长 途 汽车 ， 最 后 一 班 车 在 下 午 ４时 发 出 ， 那 么 从 甲城 发 车 的 司 机 在 途 中 最 多 能 看 到 几 辆 迎 面 驶 来 的 从 乙城 发 出 的同一线路的车？ 解 析 根 据题 意 ， 画图 ， 用 竖 线 表 示 甲 城 到 乙城 的 路， 用横线表示发车时 间， 用 斜 线 表 示 汽 车 在 途 中 的 任 何 时 刻 的行 驶 位 置 ， 两 条 斜 线 的 相 交 点 就 是 与 对 方 车 站发出的车的相遇点． 因此 ， 要 求 从 甲城 发 车 的 司机 在 途 中 最 多 能 看 到 几 辆 迎 面 驶 来 的 从 乙 城 发 出 的 同 一 线 路的车 ， 只要 画 出一 天 全部 车辆 的运 行 图 （ 如图 ２ ） ．
乙城
时 间
１ ９世 纪 法 国数 学 家 柳 卡 在 一 次 国 际数 学 会 议 上 提 出 了 一 道 有 趣 的 题 目 ，它难 倒 了 在 场 的 所 有 数 学 家 ， 连 柳卡本人也没有 彻底 解决． 这 道 有 趣 的 题 目一 般 称 作 “ 柳 卡趣 题 ” ， 原题 是 这 样 的 ： 每天 中午 ， 某 航 运 公 司 有 一 艘 轮 船 从 巴 黎 的 外 港 — — 塞 纳 河 口的 勒 阿 佛 尔 开 往 纽 约 ． 在 每 天 的 同 一 时 间也 有 该 公 司 的 一 艘 轮 船 从 纽 约 开 往 勒 阿 佛 尔 ． 轮 船在横渡大西洋 途 中所花 时 间正好 是 七天 七夜 ， 并 且
假设在全部航程 中轮船 都是 匀速行 驶 的 ， 轮 船 在 大 西 洋上按照一定航线航行 ， 在 近 距 离 内彼 此 可 以看 得 到 ． 那么 ， 当 今 天 中 午 从 勒 阿 佛 尔 开 出 去 的 船 Ａ 到 达 纽 约 时， 将 会 遇 到 多 少 艘 同 一公 司 的 轮 船 从 对 面 开 来 ？ 解 析 ：以 时 间 ￡ （ 天） 为 自变 量 ， 以 轮 船 与 勒 阿 佛 尔
港 间 的距 离 Ｓ 为 因变 量 ， 显然 ， 船 Ａ 及 从 纽 约 出 发 的 各
甲 城
时 间
图２
船 的 均 是 ｔ的一 次 函数 ． 在 同 一 直 角 坐 标 系 内分 别 作 出它 们 的 图象 （ 如图所示） ， 其中 ｌ 为 船 Ａ 相 应 的 函 数 图象 ， ｍ 为 比船 Ａ 早 ５ 天 从 纽 约 出 发 的船 相 应 的 函 数 图象． １ 。 与ｍ 交 于 Ｐ （ ｔ 。 ， ｓ ） ， 表 示 船 Ａ 与 从 纽 约 同 时 出 发 的船 在 ｔ 。 天后 相遇． 图中与 ｚ 相 交 的 共 有 １ ５条 线， 故 该 船将 遇 到 同 一 公 司 的 １ ５ 艘 船
从 上 图可 以求 出 ， 从 甲 城 开 出 的 一 辆 车 在 途 中 最 多 能 看 到 ７辆 迎 面 驶 来 的 从 乙城 发 出 的 同 一 线 路 的 车 （ 有 ７个 相 遇 点 ） ， 最 少 也 能 在 途 中看 到 ４辆 （ 有 ４个 相
遇点） ． 评注 通过构 造一 次 函数 图象 ， 把 一 个 数 量 关 系
极其复杂的代数问题直观 、 形 象 地 呈 现 出来 ． 通 过 观 察 就 可 以 对 问 题 作 出 回答 ． 由此说 明， 构 造 图 形 在 解 决 某
些代数问题时具有不可替代的作用． １ ． ２ 构 造 反 比例 函数 图 象 ， 巧 证 不 等 式
１ １
例２ 已知： ∈Ｒ ， 证 明 不 等 式 ＋ — ＞
９
：．
＋ １ ’
图 １
解析
由 联 想 到 反 比
， ｆ
从 图 中可 以看 出 ， 有 １ 艘 是在 出发时 遇到 （ 从 纽 约 港到达勒阿佛尔 ） ， １艘 是 到 达 纽 约 时 遇 到 （ 刚 好 从 纽 约
１
例函数 Ｙ 一÷ ， 如图 ３ ， 画出
１
开出） ， 剩下 １ ３艘 则 在 海 上 相 遇 ； 另外 ， 还 可 从 图 中 看 到， 轮 船 相 遇 的时 间是 每天 中 午 和 子 夜 ．
函数 一÷ （ ｚ ＞０ ） 的图象．
在 轴 上 取 两 点 Ａ （ ， Ｏ ） 、 Ｂ（ ｎ ＋２ ， ０ ） ， 过 Ａ、 Ｂ 分 别
这 是 一 道 典 型 的构 造 函数 图 象 解 决 代 数 问 题 的 实 例， 类 似 的代 数 问题 很 多 ， 我 们 可 以 通 过 构 造 图形 — — 使代数问题几何化 ， 用 几 何 方 法 来 解 决 代 数 问题 ， 往 往 会 收 到 事 半 功 倍 的效 果 ．
图３
作 轴 的垂 线 交 图 象 于 Ａ， 、 Ｂ ， ， 则 Ａ Ａ， 一 ， Ｂ Ｂ ， 一 十 连 接 Ａ Ｂ得 梯形 Ａ ＢＢ Ａ ． 再 取 线段 Ａ Ｂ 的 中 点
．
１ 巧构 函数 图象
１ ． １ 构 造 一 次 函数 图 象 ， 迁移 “ 柳卡趣题 ” 例 １ 长 途汽车在 甲 、 乙 两 座 城 市 之 间往 返 行 驶 ， 每 辆 汽 车 需 要 经 过 ４小 时 到 达 对 方 城 市 ． 从 上 午 ６时
Ｃ（ ＋１ ， Ｏ ） ， 作 ｚ轴 的 垂 线 段 Ｃ Ｃ ， 交Ａ Ｂ 于点Ｃ ， 交曲 线 于点 Ｄ， 则Ｃ Ｃ 是 梯 形 ＡＢ Ｂ， Ａ 的 中位 线 ． 所以Ｃ Ｃ 一
Ｉ （ ＡＡ ＋ ＢＢ ）
１
一
Ｉ １ 十 ） ， 而Ｄ Ｃ ＝ ． 由 于
?
５ ４ ?
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２ Ｏ ｌ １ 年 第 ６期
一
ｌ ｌ ＿ 在 （ ０ ， ＋ ｏ ｏ） 上 是 凹 的， 所 以 Ｃ Ｃ ＞ Ｄ Ｃ， 即
由 于抛 物 线 开 口 向下 ， 所 以点 Ｐ 必 位 于 点 Ｑ 的下 方 ， 即
两 函数 图象 在 第 一 、 四象限没有交点 ， 故方程２ 一 ：
９
÷ （ ＋ ） ＞ ． 所 以 ＋ ＞ ．
本题如用代数的“ 比差 法 ” 或“ 比商 法 ” 证 明也 比较 简单 ， 以“ 比差 法 ” 的思路展现如下 ：
一 — 一
的 正 根 个 数 为 ０个 ， 选 Ａ．
Ｚ
评注
通 过构造 二 次函数 图象 ， 把 一 个 基 本 解 决
不 了 的 问 题很 轻 松 地 解 决 了 ， 可见 适时地 构造 函数 图 象， 会使几乎 不 可能 完成 的 问题 “ 绝 处逢 生” “ 柳 暗 花 明” ． 特别是例 ４ 将 二 次 函数 图 象 和 反 比 例 函数 的 图 象 共同呈现 ， 将 力 不 能 及 的任 务 “ 一览见 底” ， 真 有 巧夺 天
工之妙．
。
， ２
一
卜２
＋１ ， ｚ （ ＋ １ ） （ ＋ ２ ）’
‘ ?
ｎ ６ Ｒ ＞ ０ ， 。 ’ ? 十 责 ｌ Ｊ 十 ＞。 ， ‘ ‘ 。 音＋
．
＞
２ 巧 构 几 何 图 形
２ ． １ 巧 分段 ， 利 用 数 轴 巧 求 最 小值
评 注 本 例 虽 然 用 代 数 方 法 也 很 简 单 ， 但 是 构 造
反 比例 函数 图象 ， 进 而与 梯 形 的 相 关 知 识 联 系起 来 ， 还 是 给人 以耳 目一 新 的感 觉 ． １ ． ３ 构 造 二 次 函数 图 象 ， 巧求参数范围 例３ 已知 关 于 ｚ 的方 程 ２ ｘ 一（ ｍ＋ １ ） ｚ—ｍ＝ ０ 的 一 个根 在 １和 ２之 间 （ 不包括 １ 、 ２ ） 另一根 小于 １ ， 求 ｍ 的 取值 范 围 ．
例 ５ 求ｌ ２ ２ ： ＋４ 『 ＋Ｉ ｚ 一２ Ｉ ＋｛ ｚ 一１ 』 的最 小 值 ． 解 析 因 为 不 清 楚 ｚ是 怎 样 的 实 数 ， 所 以 无 法 求 出原 式 的 值 ， 也 无从计算 最小值． 一 般地 ， 若 数 轴 上 两 点 表 示 的数 分 别 为 ａ 、 ｂ ， 则 此两 点 之 间 的 距 离 为 ｌ 。 一６ Ｉ ． 由此 可 知 ： ｉ ｚ ＋４ ｊ 即表 示 ｚ与 一 ４之 间 的距 离 ； ｛ ｚ 一２ ｆ 、 一１ Ｉ １ 分 别 表 示 与 ２ 、 ｚ与 １之 间 的 距 离 ． 据 此 将 数 轴 以 一４ ， ２ ， １为 界 分 为 四 段 （ 如 图 ６中 的 ① 、 ② 、 ③ 、
④） ， 即ｚ ≤ 一４ ， ４ ＜ ｚ≤ １ ， １ ＜３ ２ ≤２ ， ｚ＞ ２ ， 然 后 逐 段
解析
依题 意有
！ｖ 利用求根公式 Ｘ １ ， ２ 一— ｅ＋ｌ ｒ
— —
—
／ ｍ ２
－
ｏ ｅ＋１ ｒ Ｒｌ
— — 一
＿
，
进 行 讨 论
１ １ ＜ 尘 ±
一
＜ ２ ，
， 但 这 个 不 等 式
、
Ｊ ＋１ 一 ｍ ＋１ ０ ｍ＋１ ， ，
Ｉ ４
组 解 起 来 十分 困难 。
设 Ｙ 一２ ｘ 。 ～（ ｍ＋ １ ） ｚ
：
图６
ｍ， 由 于方 程 ２ ｘ 一 （ ｍ＋ １ ） —ｍ一０的 一 根 在 １与 ２之 间 ， 另一根小于 １ ， 并
—
结 合 图 形 进行 观察 分 析 可知 ， 若３ ２ 取在① 处 （ 比如 ｚ ） ， 则 ｚ 所 对 应 的 点 到 一４ ， ２ ， １的 距 离 之 和 为 一 １ ～ ３ ｘ ≥１ １ ； 若 取 在 ② 处 （ 比如 ｚ ） ， 则 所 对 应 的 点 到 ４ ， ２ ， １的距 离 之 和 为 ７ ｚ ． 其中６ ≤７ 一 ≤ ｌ Ｏ ． 依 此
一
且 口 ：２ ＞０ ， 则 函数 Ｙ所 代 表 的 抛 物 线 应 如 图 ４所
图４
类推 ， 当 ｚ取 １时 ， 所对应 的点 到～４ 。 ２ ， ｌ的 距 离 之 和
最短为 ６ ．
示， 它 开 口向 上， 并且 与 ｚ 轴有交点 ， 一个在 （ １ ， ０ ） 的左 侧 ， 一个在 （ １ ， ０ ） 和（ ２ ， ０ ） 之 间． 这样 ， 抛物线总 在点 （ １ ， ０ ） 的下 方 ， 并且在 点 （ ２ ， Ｏ ） 的上方通过 ， 即把 ＿ ｚ 一１代 入 函数 解 析 式 后 ， ｙ ＜０ ， 把 １ 代人函数解析式后 ， ｙ ＞０ ． 于 是
一
评注
有 关 绝 对值 的化 简 、 求 值或证 明， 经 常 利 用
数轴这一图形工具． 一般 地 ， 对于Ｍ—Ｉ － ｚ 一２ ２ Ｉ ＋ ｚ 】 ＋…＋ １ ｚ一 ３ ２ １ ， 我们 把 ｚ ， ｚ ｚ ， … 称 为 绝 对 值 “ 零点” （ 简称零 点， 如本例 中 的 ４ ， １ ， ２ ） ， 将 数 轴 按 零 点进 行分段 ， 然后 逐段进 行讨论． 当有 奇 数 个 零 点 时 ， 取 最 中间 的一 个 零 点 时 可使 该 点 到 各 零 点 的 距 离 之 和 最短 ， 即代 数 式 Ｍ 的 值 最 小 ； 当有 偶 数 个 零 点 ， 则 取 最 中间 的两 个 零 点 及 这 两 个零 点 之 间 的 任 何 数 值 均 使 该
ｆ ２× １ 一 （ ｍ ＋ １）× １一 ｍ ＜ ０，
１ ２ ×２ ～（ ｍ＋１ ） ×２ 一ｍ＞ ０ ’
解得
，
』 ｍ ＞ ÷ ， ＇ ． ． ．
Ｉ ｍ＜ ２ ．
９
例４ 方 程２ ｚ — ｚ 一 ｛的 正 根 个 数 为 （ ）
Ａ．０ Ｂ． １ ．Ｚ Ｄ． ３
点到各零点的距离之和最短 ， 即代 数 式 Ｍ 的值 最 小 ． ２ ． ２ “ 勾股 图” ， 为 不 等 式 的证 明巧 助 力 所谓“ 勾 股 图” ， 是 指 利 用 勾 股 定 理 构 造 出 的 线 段
或 三 角 形 图． 例 ６ 已知 正 数 ｍ、 、 户 ．
解 析 若 按 常 规 思路 ， 将 分 式 方 程 去 分 母 后 得 一 元 三 次 方 程， 求解有 一 定的难 度． 分 别 令
０
求证 ： ￣ ／ ｍ ＋ 十 ￣ ／ ＋声 ＋
￣ ／ ＋ｍ ≥√ ２ （ ｍ＋ｎ ＋ ） ． 解 析 本 题 用 初 中 代 数 知 识 很 难 解 决 ，考 虑 到
ｍ ＋ 。 可 以 看 成 是 以 ｍ、
图 ５
１ —２ ￣ ｒ －ｚ ， Ｙ ２ 一÷ ， 在 同一 坐
¨Ｌ
标系里 画 出它 们 的 图 象 （ 如 图 ５ ） ． 由于 ｙ １ —２ － ｚ —ｚ 。的 顶 点 Ｐ 的坐标为 （ １ ， １ ） ， 过 点 Ｐ 作 抛 物
为 直 角 边 的 直 角 三 角 形 的 斜
线的对称轴交曲线于 点 Ｑ， 所 以点 Ｑ的坐标 为 （ １ ， ２ ）
边长 ， 由√ ２ （ ＋” ＋声 ） 想 到 它
图７
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是 以 ｍ＋ ｎ ＋ 为 边 长 的 正 方 形 的 对 角 线 长 ， 那 么 构 造 个如 图 ７ 所示 意的图形 ， 这时， 由“ 两点之 间 ， 线 段 最
一
等号成立 １ ． 显然， 这 里代 数式 ３ ｎ ＋１＋ ３ ６ ｝１ ＋
，
段” 有
３ ｆ ＋１ 的最小值是 ２ √ ３ ．
评 注 一 般 来 说 ， 与二 次根式 有关 的化简 、 求值 、 证 明等 等 ， 当用 代 数 方 法 很 难 人 手 时 ， 往 往 可 以考 虑 利 用勾股定理来构 造 图形 ， 从 而 把 代 数 问 题 转 化 成 几 何
√ ２ （ ｍ＋ ＋ ） 一ＡＣ ≤Ａ Ｅ＋Ｅ Ｆ ＋Ｆ Ｃ一 ， ／ ２ ＋ ＋
￣ ／ ＋Ｐ ＋￣ ／ 声 ＋ｍ。 ， 其中“ 一” 号 只 当 Ｅ、 Ｆ在 Ａ Ｃ
上， 即 ｍ— — Ｐ时 成 立 ． 例 ７ 已知 正 数 ａ 、 ｂ 、 Ｃ满 足 ａ＋ ｂ ＋Ｃ ＝１ ， 求证 ：
问题 ， 使 抽 象 的 数 字 符 号 转 化 成 直 观 形 象 的 图 形 使 问
题迎刃而解．
￣ ／ ３ ｎ ＋１ ＋ ３ ６ ＋１ ＋￣ ／ ３ ｃ ＋１ ≥２ √ ３ ．
解 析 如 图 ８ ， 作 矩 形 ＡＢ Ｃ Ｄ， 使 ＢＣ一
３ ， ＡＢ＝４ ￣， 在 Ｂ Ｃ 上 依
次 截 取 ＢＨ — ＨＧ— Ｇ Ｃ 一１ ， 在 ＡＢ上 依 次 截 取
ＡＭ 一 ａ． Ｍ Ｎ 一 ｂ，
上述几例 ， 足 见 数 形 结 合 的 思 想 防 护 法 在 在 解 决 数 学 问 题 中 的优 越 性 ． 著 名 数 学 家 华 罗 庚 曾说 过 “ 数 形 结合百般好 ， 割 裂分 家万 事休 ” ， 深 刻 地 揭 承 了数 形 相 依， 互 为利 用 的 数学 思想 方 法 ． 当 某 些 代 数 问 题 用 代 数 方法很难解决时 ， 我 们可以尝试用 换个角度 ， 用 几 何 的
方法去对其 进 行 转 化 ， 往往 会 有意 想 不 到 的效 果． 当 然， 最 重要 的 是 善 于 总结 和 提 炼 ， 深 刻 领 会 数 形 结 合 思 想 的深 刻 内涵 ， 这样 才 能举 一 反 三 ， 得心应手． 参考文献 ：
ＮＢ ＝√ ３ ｃ ， 分 别过 Ｍ、 Ｈ 作 Ａ Ｂ、 Ｂ Ｃ的 垂 线 交 于
图８
Ｅ， 过 Ｎ、 Ｇ作 Ａ Ｂ、 Ｂ Ｃ的 垂 线 交 于 Ｆ， 连结 Ａ Ｅ、 Ｅ Ｆ、 Ｆ Ｃ，
则 ＡＥ ＝
Ｆ 『 ， Ｅ Ｆ＝ 而
， Ｆ Ｃ ＝
， Ａ Ｃ＝
￣ ／ （ √ ｉ ） ｚ ＋３ ｚ 一￣ ， 厂 ：２ ４ ｇ ． 因为 Ａ Ｅ ＋正 １ Ｆ ＋Ｆ Ｃ ≥Ａ ｃ （ 点
Ｅ 、 Ｆ在 Ａ Ｃ上等 号成 立 ） ， 所以、 ， ／ 五 Ｆ 『 ＋ 丽 Ｆ 『 ＋
［ １ ３杭 顺 清 ， 何 强， 沈军， 袁海斌 ， 初 中数 学解题 高 手［ Ｍ］ ． 华 东师 范大 学 出版 社 ， ２ ０ １ ０ ． ［ ２ ］孙 维 刚 ， 孙 维 刚 初 中数 学 ［ Ｍ］ ， 北 京 大 学 出版
社 ， ２ ０ ０ ５ ．
￣ ／ 干 Ｔ ≥ ２ （ ａ 一 ６ 一 ｃ 一 １ 时
［ 责任 编校
钱骁 勇］
（ 上 接第 ５ ７页 ） １ ６ 巧借 根 的定义 妙提 因式
例 １ ６ 已知 口 、 ｂ 是方程 ２ ０ １ ０ ｘ ＋２ ０ １ ｌ ｘ ＋２ ０ １ ２ —０ 的两 个 根 ， 若 ｓ 一“ ＋ ｂ ， 求 ２ ０ １ ０ Ｓ ２ Ⅲ ＋２ ０ １ １ Ｓ ２ Ｄ ｌ ｌ ～ ２ ０ １ ２ Ｓ ２ ＋２ ０ １ ２的 值 ．
解 ：２ ０ １ Ｏ Ｓ ２ ｏ Ｉ ２ ＋２ ０ １ １ Ｓ ２ … ～２ ０ １ ２ ＇ ｓ ｚ ０ １ ｏ ＋２ ０ １ ２
—
一一（ ｎ ＋３ ａ —ｓ ） ＋２ ０ １ ２ —２ ０ １ ２ ｌ ８ 巧填 项 妙 配方
２ ０ １ ２ ２
－ 一
例 １ ８ 计 算
解：
１
原式 一
２ ０ １ ２ ｚ
～
２ ０ １ ０ （ ａ 。 ＋ｂ 。 ） ＋ ２ ０ １ １（ ａ “ ＋ ｂ 。 。 “）一 ２ ０ １ ２
（ ｎ 。 。 ＋ｂ …） ＋２ ０ １ ２ 一ｎ 。 。 （ ２ ０ １ ０ ａ ＋ ２ ０１ １ Ⅱ一 ２ Ｏ １ ２ ）＋ ｂ … （ ２ ０ ｌ Ｏ ｂ ＋
２ Ｏ１１ ６— ２Ｏ１ ２） ＋ ２ Ｏｌ ２
一
面 １ —
２ ０ １ ２． ２ ０ １ ２ ２
－ 一
１
。 。 ?０＋ ｂ 。 。 ?０＋ ２ ０１ ２ ２ Ｏ１２
一
√ （ ｚ ～ ） 丽 １ 一
～ 一
—
２Ｏ１ ２
ｌ ７ 巧变 形
妙 拆 项
点 评 ：本 题 通 过 填 项 ， 经 过两 次变形 ， 配 盛 完 全 平
肯 新 讲 行 计 笪 ． 育 法 ． 讨 程 筒 ． 膏 堵 新
例 １ ７ 已 知 ：ａ 。 ＋３ ａ 一５ — ０求 ｎ ＋２ ２ １ 。 一８ ａ ＋ ２ ０ １ ７的 值 ． 解 ：由 Ⅱ ＋３ ａ 一５ — ０得 Ⅱ 。 一５ —３ ａ有 ｎ 一 ５ ａ 一 ３ ｎ ， 则 原 式 ＝５ ａ 一３ ａ ＋２ ｎ 一８ ＆ ＋２ ０ １ ７
［ 责任 编校
王
蓓］
