71考研数学 趣谈(2)

国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。 极限概念起自于对“过程”的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。 自变量的变化趋势分为两类，一类是x→x0；一类是x→∞，

“当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a？” 如

果是，则称数a为函数的极限。

―无限接近‖还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。 学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。

自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。 自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；x趋于无穷时，函数1/x的极限是0； 回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，

x趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。 x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。

x→0+时，对数函数lnx趋于－∞；x趋于正无穷时，lnx无限增大，没有极限。

x→∞时，正弦sinx与余弦conx都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦y=sinx的图形是典型的波动。 我国《高等数学》教科书上普遍都选用了―震荡因子‖sin（1/x）。当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x=0靠近了一点点，而正弦sinu却完成了140多个周期。函数的图形在+1与－1之间上下波动140多次。在x=0的邻近，函数各周期的图形紧紧地―挤‖在一起，就好象是―电子云‖。 当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y=sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。

x趋于0时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。

更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。）就可能有的函数趋于0时（或无限增大时）―跑得更快‖。这就是高阶，低阶概念。 考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。

多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（即ε–δ语言）。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是

―若x趋于∞时，相应函数值f（x）有正的极限，则当∣x∣充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，)总有f（x）＞0‖

*―若x趋于x0时，相应函数值f（x）有正的极限，则在x0的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正‖ 这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和―近朱者赤，近墨者黑‖一个道理吗。

除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。

若x趋于无穷时，函数的极限为0，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，)函数的绝对值恒小于1

若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，)函数的绝对值全大于1

*若x趋于0时，函数的极限为0，则在0点的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1

（你不仿设定有充分小的数δ＞0，当0＜∣x∣＜δ时，函数的绝对值全小于1）

没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中―无限接近‖的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x0，或充分小的数δ＞0，并利用它们。

考研数学讲座（4）“存在”与否全面看

定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。

即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。 1．海涅定理 观察x趋于x0的过程时，我们并不追溯x从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理：

定理（1）极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于x0，相应的函数值总有相同的极限A存在。 这个定理条件的―充分性‖没有实用价值。事实上我们不可能穷尽x逼近x0的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的―必要性‖独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理： “如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。” 唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。 2．用左右极限来描述的等价条件 用ε–δ语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：

定理（2）极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。

这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为

函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。

函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。

由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。（ 3）突出极限值的等价条件

考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件：

定理（3）函数f（x）在某一过程中有极限A存在的充分必要条件是，f（x）－A为无穷小。 从“距离”的角度来理解，在某一过程中函数f（x）与数A无限接近，自然等价于 ：函数值f（x）与数A的距离∣f（x）－A∣无限接近于0

如果记α=f（x）－A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换： f（x）=A+α（无穷小）

考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。―存在‖与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我用exp（）表示以e为底数的指数函数，（）内填指数。 例1x趋于0时，函数exp（1/x）不存在极限。

分析在原点x=0的左侧，x恒负，在原点右侧，x恒正。所以

x从左侧趋于0时，指数1/x始终是负数，故左极限f（0－0）=0，

x从右侧趋于0时，函数趋向+∞，由定理（2），函数不存在极限。也不能说，x趋于0时，exp（1/x）是无穷大。

但是，在这种情形下，函数图形在点x=0有竖直渐近线x=0

例2x趋于0时，“震荡因子”sin（1/x）不存在极限。俗称震荡不存在。 分析用海涅定理证明其等价问题，―x趋于+∞时，sinx不存在极限。‖

分别取x=nπ及x=2nπ两个数列，n趋于+∞时，它们都趋于+∞，相应的两列正弦函数值却分别有极限0与1，不满足唯一性定理（定理（1））。故sinx不存在极限。（构造法！） 例3x趋于∞时，函数y=arctgx不存在极限。

分析把∞视为一个虚拟点，用定理（2）。由三角函数知识得， x趋于+∞时，函数极限为π/2，x趋于－∞时，函数极限为－π/2， 故，函数y=arctgx不存在极限。

请注意，证明过程表明，函数y=arctgx的图形有两条水平渐近线。即 －∞方向有水平渐近线y=－π/2；+∞方向则有有y=π/2

例4当x→1时，函数f(x)=(exp(1/(x－1)))(x平方－1)∕(x－1)的极限 （A）等于2（B）等于0（C）为∞（D）不存在但不为∞

b]分析考查x→1时函数的极限，通常认为x不取1；而x≠1时，可以约去分母（x－1)，让函数的表达式化为f(x)=(x+1)exp(1/(x－1))

左极限f（1－0）=0，x从右侧趋于1时，函数趋向+∞，（选（D）） （画外音：多爽啊。这不过是―典型不存在1‖的平移。）