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71考研数学趣谈(3)

来源：网络转载 2015-06-29 21:33 编辑： www.xigushan.com 查看: 次

例5f（x）=（2+exp（1/x））∕（1+exp（4/x））+sinx∕∣x∣,求x趋于0时函数的极限。分析绝对值函数y=|x|是典型的分段函数。x=0是其定义分界点。一看就知道必须分左右计算。如果很熟悉―典型不存在1‖，这个5分题用6分钟足够了。实际上 x→0-时，limf（x）=（2+0）/（1+0）－1=1

x→0+时，exp（1/x）→+∞，前项的分子分母同除以exp（4/x）再取极限 limf（x）=（0+0）/（0+1）+1=1 由定理（2）得x→0时，limf（x）=1

例6曲线y=exp(1/x平方)arctg（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））的渐近线共有（A）1条．（B）2条。（C）3条。（D）4条。选（B）

分析先观察x趋于∞时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。即0，1和－2；对于每个零点x0，直线x=x0都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。实际上有

x→∞时，limy=π/4，曲线有水平渐近线y=π/4

其中，x→∞时，limexp(1/x平方)=1；im（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））=1（分子分母同除以―x平方‖）考查“嫌疑点”1和－2时，注意运用―典型不存在3‖，

f（1－0）=－eπ/2；f（1+0）=eπ/2，x=1不是曲线的竖直渐近线。类似可以算得x=－2不是曲线的竖直渐近线。

x→0时，前因式趋向+∞；后因式有极限arctg（－1/2），x=0是曲线的竖直渐近线。啊，要想判断准而快，熟记“三个不存在”。看了上面几例，你有体会吗？

*还有两个判断极限存在性的定理（两个充分条件）：

定理（4）夹逼定理——若在点x0邻近（或|x|充分大时）恒有g(x)≤f(x)≤h(x)，且x→x0(或x→∞)时limg(x)=limh(x)=A则必有limf(x)=A

定理（5）单调有界的序列有极限。（或单增有上界有极限，或单减有下界有极限。）

加上讲座（3）中的““近朱者赤，近墨者黑”定理”。共计六个，可以说是微分学第一组基本定理。

考研数学讲座（5）无穷小与无穷大